เก้าอันดับเว็บไซต์: คณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษา ที่ดีที่สุดในอังกฤษ อันดับที่ 9 http://www.scottkim.com (เว็บไซต์เกี่ยวกับเกมส์พัฒนาทักษะทางคณิตศาสตร์) อันดับที่ 8 http://www.mathsrevision.net (เว็บไซต์เกี่ยวกับเนื้อหาทางคณิตศาสตร์) อันดับที่ 7 http://www.teachernet.gov.uk/teachingandlearning/subjects/maths (เว็บไซต์เกี่ยวกับข่าวคราวล่าสุดทางการศึกษา) อันดับที่ 6 http://nlvm.usu.edu/en/nav/vlibrary.html (เว็บไซต์เกี่ยวกับเกมส์พัฒนาทักษะทางคณิตศาสตร์ สามารถพลิกแพลงนำมาใช้เป็นสื่อการสอนได้) อันดับที่ 5 http://www.puzzles.com/PuzzlesInEducation/pow.htm (เว็บไซต์สำหรับการเริ่มต้นบทเรียน กระตุ้นจากคำถามที่มีให้ดาวน์โหลดฟรี) อันดับที่ 4 http://www.bbc.co.uk/schools/gcsebitesize/maths (เว็บไซต์ที่นักเรียนสามารถเรียนรู้ด้วยตนเอง มีเกมส์และแบบทดสอบ) อันดับที่ 3 http://lgfl.skoool.co.uk (เว็บไซต์ที่ใช้ศึกษาเรื่องรูปทรง พื้นที่ หรือพีชคณิต) อันดับที่ 2 http://www.cimt.plymouth.ac.uk (เว็บไซต์ที่เหมาะสำหรับครูผู้สอนคณิตศาสตร์ มีสื่อการสอนมากมาย ครอบคลุมทุกเนื้อหา) อันดับที่ 1 http://www.mymaths.co.uk (เว็บไซต์ที่สมบูรณ์แบบที่สุดสำหรับครูและนักเรียน แต่จะต้องเสียค่าใช้จ่าย) ที่มา: http://www.thaiteachers.tv/vdo2.php?id=3024 ตอบกลับ
คุณค่าของการเรียนคณิตศาสตร์ 1. เรียนเพื่อนำไปใช้ในการดำรงชีวิต และใช้เป็นเครื่องมือในการศึกษาวิทยาการต่าง ๆ ในทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มนุษยศาสตร์และศิลปศาสตร์ตลอดจนศาสตร์อื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง ทั้งนี้เพราะเราจำเป็นต้องใช้คณิตศาสตร์ไม่ทางตรงก็ทางอ้อม กับกิจกรรมส่วนใหญ่ในชีวิตประจำวัน มีการนำคณิตศาสตร์ไปใช้อธิบายปรากฏการณ์หรือเหตุการณ์ต่าง ๆ และคาดการณ์ถึงผลที่อาจเกิดขึ้น ทำให้เราสามารถเตรียมตัวรับสถานการณ์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ 2. เรียนเพื่อการเป็นพลเมืองที่ดีและมีคุณภาพ ทั้งนี้เพราะคณิตศาสตร์เป็นวิทยาการแขนงหนึ่งที่เป็นทั้งศาสตร์และศิลป์ มีบทบาทสำคัญในการพัฒนาความคิดของมนุษย์ ทำให้มนุษย์มีความคิดสร้างสรรค์ คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาและสถานการณ์ได้อย่างถี่ถ้วน รอบคอบ ทำให้สามารถคาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจแก้ปัญหา และนำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างถูกต้องและเหมาะสม 3. เรียนเพื่อศึกษาถึงอารยธรรม ที่นำมาซึ่งความเจริญรุ่งเรืองของมนุษยชาติทั้งนี้เพราะคณิตศาสตร์เป็นอารยธรรมที่มีวิวัฒนาการอันยาวนานมาตั้งแต่สมัยดึกดำบรรพ์จนถึงปัจจุบันโดยไม่หยุดนิ่ง ทั้งยังแสดงให้เห็นถึงภูมิปัญญาอันลึกซึ้ง และความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ของคนแต่ละยุคสมัยในการสร้างความเจริญรุ่งเรืองและพัฒนาคุณภาพชีวิตของคนเราให้ดีขึ้น 4. เรียนเพื่อศึกษาต่อในระดับที่สูงขึ้น พื้นฐานทางการเรียนคณิตศาสตร์ถือว่ามีความสำคัญอย่างยิ่งในระดับที่สูงขึ้นต่อไป และเราก็ไม่สามารถคาดการณ์หรือกำหนดชีวิตได้ว่าในอนาคตจะได้ศึกษาต่อหรือทำงานอะไร ดังนั้นการเรียนคณิตศาสตร์ในช่วงชั้นของตนเองเพื่อเป็นการเตรียมพื้นความรู้ในการเรียนคณิตศาสตร์ในเนื้อหาที่สูงขึ้นจึงมีความสำคัญอย่างยิ่ง ถ้าเราไม่ใส่ใจหรือไม่ตั้งใจเรียนในเรื่องใดเรื่องหนึ่งก็จะทำให้มีปัญหาหรือขาดโอกาสในการศึกษาต่อในสาขาวิชาเหล่านั้นไปเลย เช่น จะเรียนวิศวกรรมศาสตร์ แต่ไม่เข้าใจเรื่องของความสัมพันธ์และฟังก์ชัน นักเรียนก็ไม่สามารถเรียนต่อสาขานี้ได้ เพราะนักเรียนไม่มีพื้นฐานความรู้ เพราะในมหาวิทยาลัยจะไม่มีการทบทวนเนื้อหาพื้นฐานเหล่านี้ เหมือนในโรงเรียน ตอบกลับ
สิ่งที่นักเรียนควรคำนึงในการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ 9 ประการ 1. การวิเคราะห์ปัญหา นักเรียนสามารถแยกแยะปัญหาได้ว่าโจทย์ปัญหาแต่ละข้อนั้นกำหนดสิ่งใดให้บ้าง และโจทย์ต้องการทราบอะไร สิ่งที่โจทย์กำหนดให้นั้นมีความสัมพันธ์กันอย่างไร ตัวอย่างเช่น “ตุ๊กซื้อส้มเป็นเงิน 28 บาท ให้ธนบัตรใบละ 100 บาท เขาจะได้รับเงินทอนเท่าไร” จากโจทย์ปัญหานี้นักเรียนจะทราบว่า สิ่งที่กำหนดให้ คือ ตุ๊กมีเงิน 100 บาท ซื้อของไป 28 บาท สิ่งที่โจทย์ถาม คือ ตุ๊กจะได้รับเงินทอนเท่าไร หรือตุ๊กจะเหลือเงินเท่าไร ความสัมพันธ์ของจำนวน 2 จำนวน คือ 100 กับ 28 จะต้องนำจำนวนเงินที่ซื้อของไป 28 หักออกจากจำนวนเงินทั้งหมด 100 บาท เป็นต้น 2. การเขียนประโยคสัญลักษณ์ เมื่อนักเรียนสามารถวิเคราะห์โจทย์ปัญหา ขั้นต่อไปนักเรียนควรมีความสามารถในการเขียนประโยคสัญลักษณ์ “ประโยคสัญลักษณ์ หมายถึง ประโยคที่ใช้สัญลักษณ์ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขและเครื่องหมายแทนข้อความแทนจำนวน” พื้นฐานของนักเรียนก่อนที่จะเขียนประโยคสัญลัษณ์ นักเรียนจะต้องรู้และเข้าใจเรื่องการใช้ตัวเลขแทนจำนวน เช่น ตัวเลขที่ใช้แทนจำนวนของสี่อย่าง คือ ๔ หรือ 4 รวมทั้งการใช้เครื่องเท่ากับ มากกว่า ไม่เท่ากับ บวก ลบ คูณ หาร เป็นต้น จากโจทย์ที่กล่าวมา เมื่อนักเรียนสามารถวิเคราะห์ปัญหาได้ ทราบความสัมพันธ์ของจำนวน 2 จำนวนที่โจทย์กำหนดให้ คือจะต้องนำจำนวนเงิน 28 บาท ไปหักออกจากจำนวน 100 บาท นักเรียนเรียนเรื่องการลบไปแล้วก็จะทราบว่า การหักออกคือการลบ จำนวนใดเป็นตัวตั้งและเป็นตัวลบ โจทย์ปัญหาข้อนี้เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ 100 – 28 = ? เมื่อนักเรียนสามารถเขียนประโยคสัญลักษณ์จากโจทย์ปัญหาที่ง่ายได้แล้ว ขั้นต่อไปจึงค่อยทำโจทย์ปัญหาที่ยากหรือซับซ้อนขึ้น คือ โจทย์ปัญหาที่มีสิ่งที่กำหนดให้มากกว่า 2 จำนวนขึ้นไป นักเรียนจะต้องใช้วิธีทำมากกว่า 1 ขั้นตอน หรือที่เรียกกันว่าทั่วไปว่าโจทย์ระคน เช่น “น้อยซื้อสบู่ 3 ก้อน ราคาก้อนละ 5 บาท ยาสีฟัน 1 หลอดราคา 32 บาท และซื้อแก้วน้ำ 4 ใบ ราคาใบละ 7 บาท น้อยซื้อของทั้งหมดสิ้นเงินเท่าไร” -นักเรียนจะต้องเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนสิ่งของกับราคาของสิ่งของ – โจทย์ต้องการทราบว่าน้อยซื้อของ 3 ชนิด สิ้นเงินเท่าไร – ดังนั้น นักเรียนจะต้องนำราคาสิ่งของที่ซื้อทั้ง 3 ชนิดมารวมกัน – ประโยคสัญลักษณ์ คือ (3 * 5) + 32 + (4 * 7) = ? – เมื่อนักเรียนเขียนประโยคสัญลักษณ์ได้นักเรียนต้องทราบว่าจำนวนแต่ละจำนวนหมายถึง อะไร ดังนี้ ในที่นี้ 3 หมายถึง จำนวนสบู่ 5 หมายถึง ราคาสบู่แต่ละก้อน 32 หมายถึง ราคายาสีฟัน 1 หลอด 4 หมายถึง จำนวนแก้วน้ำ 7 หมายถึง ราคาแก้วแต่ละใบ ราคาสิ่งของมีหน่วยเป็นบาท ดังนั้นคำตอบจะต้องมีหน่วยเป็นบาท 3. การร่างรูปภาพจากโจทย์ เป็นการหาความสัมพันธ์ของโจทย์ในรูปแบบหนึ่ง โดยเป็นการนำสิ่งที่โจทย์กำหนดให้มาเขียนให้มาเขียนเป็นรูปธรรมหรือทำโจทย์ให้ง่ายขึ้น มีการแสดงรายละเอียดของรูปจากสิ่งที่โจทย์กำหนดมาอย่างคร่าว ๆ เพื่อนำไปสู่แนวทางในการหาคำตอบต่อไป ส่วนใหญ่จะใช้ในเนื้อหาเรขาคณิต เนื้อหาความสัมพันธ์ เป็นต้น 4. ความสามารถในการอ่าน นักเรียนจำเป็นต้องมีทักษะในการอ่านสามารถเข้าใจความหมายคำศัพท์ต่าง ๆ และสามารถตีความว่าโจทย์กำหนดสิ่งใดให้และต้องการทราบอะไร ซึ่งต่างจากการอ่านโดยทั่ว ๆ ไป คำศัพท์บางคำในโจทย์ที่นักเรียนพบมักเป็นคำศัพท์ที่ใช้เฉพาะอยู่ในเรื่องที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ เช่น คำว่าผลต่าง ผลคูณ หักออก เป็นต้น นอกจากนั้นแล้วคำศัพท์บางคำนิยมใช้ตัวย่อ เช่น หน่วยในการชั่ง ตวง วัด ตัวอย่างคำว่า กก. แทนคำว่า กิโลกรัม ซม. แทน เซนติเมตร เป็นต้น นักเรียนจะต้องมีความรู้ความเข้าใจและทักษะทางภาษา 5. ทักษะการแปลงโจทย์ให้เป็นตัวแปรและใส่ค่าให้ถูกต้อง เป็นทักษะสำคัญที่นักเรียนจะต้องฝึกฝนให้ชำนาญ ซึ่งจะมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาโจทย์ทั้งวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ โดยนักเรียนจะต้องอ่านโจทย์ให้เข้าใจ แล้วนำไปเชื่อมโยงกับความรู้ที่ได้เรียนมา เช่น สูตรต่าง ๆ ในวิชาวิทยาศาสตร์หรือในเนื้อหาคณิตศาสตร์ โดยแทนตัวแปรให้สอดคล้องกับสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ พร้อมทั้งแทนตัวเลขให้ถูกต้องด้วย ซึ่งส่วนใหญ่จะอยู่ในรูปแบบของสมการ 6. ทักษะในการคำนวณ ในการแก้โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ นอกจากนักเรียนจะต้องมีความสามารถในการอ่านโจทย์ เข้าใจสิ่งที่โจทย์กำหนดให้และสิ่งที่โจทย์ต้องการทราบแล้ว นักเรียนจำเป็นต้องมีทักษะในการคำนวณอีกด้วย การมีทักษะในการคำนวณ คือ การที่นักเรียนสามารถบวก ลบ คูณ และหารได้ถูกต้องแม่นยำและรวดเร็ว ดังนั้น เมื่อนักเรียนทราบประโยคสัญลักษณ์ของโจทย์ปัญหาแล้ว นักเรียนที่มีทักษะในการคำนวณจะสามารถหาคำตอบของปัญหานั้นได้ถูกต้องและรวดเร็วว่าผู้ที่ไม่มีทักษะ ดังนั้นนักเรียนควรจะฝึกทักษะการคำนวณให้ชำนาญ 7. การประมาณคำตอบและเปรียบเทียบ การประมาณคำตอบและเปรียบเทียบช่วยทำให้นักเรียนทราบว่าวิธีที่นักเรียนใช้แก้ปัญหาและการคำนวณถูกหรือผิดได้ โดยเปรียบเทียบคำตอบได้จากการประมาณกับคำตอบจริงซึ่งควรใกล้เคียงกัน การประมาณคำตอบเป็นทักษะอย่างหนึ่งที่จะต้องฝึกฝนรู้จักวิธีการประมาณคำตอบ การประมาณคำตอบเป็นการคิดในใจด้วยจำนวนคร่าว ๆ ที่ใกล้เคียงกับจำนวนในโจทย์ นักเรียนจะต้องมีความสามารถในการเลือกใช้จำนวนที่ง่ายสำหรับการคิดในใจ และจำนวนนั้นจะต้องใกล้เคียงกับจำนวนในโจทย์ เมื่อนักเรียนมีทักษะการประมาณคำตอบแล้ว นักเรียนจะได้นำไปใช้ประโยชน์ในการตรวจคำตอบ โดยสังเกตคำตอบจากการประมาณ และคำตอบจริงว่าจะต้องใกล้เคียงกัน 8. การใช้วิธีแก้ปัญหาหลายวิธี ในการแก้ปัญหาแต่ละปัญหาคนบางคนอาจใช้วิธีแก้ต่าง ๆ กันไป ถึงแม้ว่าปัญหานั้นเหมือนกัน และวิธีการต่าง ๆ นั้นจะนำไปสู่คำตอบเดียวกัน นักเรียนควรฝึกคิดให้คิดหาวิธีแก้ปัญหาหลาย ๆ วิธี เพราะช่วยให้นักเรียนมีความคิดที่กว้าง ไม่ถูกจำกัดว่าจะต้องใช้วิธีเดียวตามที่ครูสอน นักเรียนที่ได้รับการส่งเสริมให้คิดค้นหาวิธีการแก้ปัญหาหลาย ๆ แบบจะได้รับการฝึกให้คิด มิใช่ฝึกให้ทำตามตัวอย่างหรือเลียนแบบจากตัวอย่าง นักเรียนที่เรียนคณิตศาสตร์แล้วมีความรู้ความเข้าใจ และสามารถนำความรู้ไปใช้ได้ จะมีความสามารถในการคิดแก้ปัญหาได้หลายวิธี แต่นักเรียนที่เรียนโดยการจำ ขาดความเข้าใจ จะมีปัญหาในการเรียนเกี่ยวกับโจทย์ปัญหา เพราะนักเรียนไม่สามารถจำวิธีทำสำหรับโจทย์ปัญหาทุกปัญหาได้ โดยยุทธวิธีในการแก้ปัญหา ได้แก่ 1. การค้นหาแบบรูป เป็นการวิเคราะห์ปัญหาและค้นหาความสัมพันธ์ของข้อมูลที่มีลักษณะเป็นระบบหรือเป็นแบบรูปในสถานการณ์ปัญหานั้น ๆ แล้วคาดเดาคำตอบ ซึ่งคำตอบที่ได้จะยอมรับว่าเป็นคำตอบที่ถูกต้องเมื่อผ่านการตรวจสอบยืนยัน ยุทธวิธีนี้มักจะใช้ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวกับจำนวนและเรขาคณิต การฝึกฝนการค้นหาแบบรูปในเรื่องดังกล่าวเป็นประจำ จะช่วยนักเรียนในการพัฒนาความรู้สึกเชิงจำนวนและทักษะการสื่อสาร ซึ่งเป็นทักษะที่ช่วยให้นักเรียนสามารถประมาณและคาดคะเนจำนวนที่พิจารณาโดยยังไม่ต้องคิดคำนวณก่อน ตลอดจนสามารถสะท้อนความรู้ความเข้าใจในแนวคิดทางคณิตศาสตร์และกระบวนการคิดของตนได้ 2. การสร้างตาราง เป็นการจัดระบบข้อมูลใส่ในตาราง ตารางที่สร้างขึ้นจะช่วยในการวิเคราะห์หาความสัมพันธ์ อันจะนำไปสู่การค้นพบแบบรูปหรือข้อชี้แนะอื่น ๆ ตลอดจนช่วยให้ไม่หลงลืมหรือสับสนในกรณีใดกรณีหนึ่ง เมื่อต้องแสดงกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดของปัญหา 3. การเขียนภาพหรือแผนภาพ เป็นการอธิบายสถานการณ์และแสดงความสัมพันธ์ของข้อมูลต่าง ๆ ของปัญหาด้วยภาพหรือแผนภาพ ซึ่งการเขียนภาพหรือแผนภาพจะช่วยให้เข้าใจปัญหาได้ง่ายขึ้น และบางครั้งก็สามารถหาคำตอบของปัญหาได้โดยตรงจากภาพหรือแผนภาพนั้น 4. การแจงกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด เป็นการจัดระบบข้อมูล โดยแยกเป็นกรณี ๆ ที่เกิดขึ้นทั้งหมด ในการแจงกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด นักเรียนอาจขจัดกรณีที่ไม่ใช่ออกก่อน แล้วค่อยค้นหาระบบหรือแบบรูปของกรณีที่เหลืออยู่ ซึ่งถ้าไม่มีระบบในการแจงกรณีที่เหมาะสม ยุทธวิธีนี้ก็จะไม่มีประสิทธิภาพ ยุทธวิธีนี้จะใช้ได้ดีถ้าปัญหานั้นมีจำนวนกรณีที่เป็นไปได้แน่นอน ซึ่งบางครั้งเราอาจใช้การค้นหาแบบรูปและการสร้างตารางมาช่วยในการแจงกรณีด้วยก็ได้ 5. การคาดเดาและตรวจสอบ เป็นการพิจารณาข้อมูลและเงื่อนไขต่าง ๆ ที่ปัญหากำหนดผสมผสานกับประสบการณ์เดิมที่เกี่ยวข้อง มาสร้างข้อความคาดการณ์ แล้วตรวจสอบความถูกต้องของข้อความคาดการณ์นั้น ถ้าการคาดเดาไม่ถูกต้องก็คาดเดาใหม่โดยอาศัยประโยชน์จากความไม่ถูกต้องของการคาดเดาในครั้งแรก ๆ เป็นกรอบในการคาดเดาคำตอบของปัญหาครั้งต่อไป นักเรียนควรคาดเดาอย่างมีเหตุผลและมีทิศทาง เพื่อให้สิ่งที่คาดเดานั้นเข้าใกล้คำตอบที่ต้องการมากที่สุด 6. การเขียนสมการ เป็นการแสดงความสัมพันธ์ของข้อมูลที่กำหนดของปัญหาในรูปของสมการ ซึ่งบางครั้งอาจเป็นอสมการก็ได้ ในการแก้สมการนักเรียนต้องวิเคราะห์สถานการณ์ปัญหาเพื่อหาว่า ข้อมูลและเงื่อนไขที่กำหนดมามีอะไรบ้าง และสิ่งที่ต้องการหาคืออะไร หลังจากนั้นกำหนดตัวแปรแทนสิ่งที่ต้องการหาหรือแทนสิ่งที่เกี่ยวข้องกับข้อมูลที่กำหนดมาให้แล้วเขียนสมการหรืออสมการแสดงความสัมพันธ์ของข้อมูลเหล่านั้น ในการหาคำตอบของสมการ มักใช้สมบัติของการเท่ากันมาช่วยในการแก้สมการ ซึ่งได้แก่ สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด สมบัติการบวกและสมบัติการคูณ และเมื่อใช้สมบัติของการเท่ากันมาช่วยแล้ว ต้องมีการตรวจสอบคำตอบของสมการตามเงื่อนไขของปัญหา ถ้าเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา ถือว่าคำตอบที่ได้เป็นคำตอบที่ถูกต้องของปัญหานี้ ยุทธวิธีนี้มักใช้บ่อยในปัญหาทางพีชคณิต 7. การคิดแบบย้อนกลับ เป็นการวิเคราะห์ปัญหาที่พิจารณาจากผลย้อนกลับไปสู่เหตุ โดยเริ่มจากข้อมูลที่ได้ในขั้นตอนสุดท้าย แล้วคิดย้อนขั้นตอนกลับมาสู่ข้อมูลที่ได้ในขั้นตอนเริ่มต้น การคิดย้อนกลับใช้ได้ดีกับการแก้ปัญหาที่ต้องการอธิบายถึงขั้นตอนการได้มาซึ่งคำตอบ 8. การเปลี่ยนมุมมอง เป็นการเปลี่ยนการคิดหรือมุมมองให้แตกต่างไปจากที่คุ้นเคย หรือที่ต้องทำตามขั้นตอนทีละขั้นเพื่อให้แก้ปัญหาได้ง่ายขึ้น ยุทธวิธีนี้มักใช้ในกรณีที่แก้ปัญหาด้วยยุทธวิธีอื่นไม่ได้แล้ว สิ่งสำคัญของยุทธวิธีนี้ก็คือ การเปลี่ยนมุมมองที่แตกต่างไปจากเดิม 9. การแบ่งเป็นปัญหาย่อย เป็นการแบ่งปัญหาใหญ่หรือปัญหาที่มีความซับซ้อนหลายขั้นตอนออกเป็นปัญหาย่อยหรือเป็นส่วน ๆ ซึ่งในการแบ่งเป็นปัญหาย่อยนั้นนักเรียนอาจลดจำนวนของข้อมูลลง หรือเปลี่ยนข้อมูลให้อยู่ในรูปที่คุ้นเคยและไม่ซับซ้อน หรือเปลี่ยนให้เป็นปัญหาที่คุ้นเคยหรือเคยแก้ปัญหามาก่อนหน้านี้ 10. การให้เหตุผลทางตรรกศาสตร์ เป็นการอธิบายข้อความหรือข้อมูลที่ปรากฏอยู่ในปัญหานั้นว่าเป็นจริง โดยใช้เหตุผลทางตรรกศาสตร์มาช่วยในการแก้ปัญหาบางปัญหาเราใช้การให้เหตุผลทางตรรกศาสตร์ ร่วมกับการคาดเดาและตรวจสอบ หรือการเขียนภาพและแผนภาพ จนทำให้บางครั้งเราไม่สามารถแยกการให้เหตุผลทางตรรกศาสตร์ออกจากยุทธวิธีอื่นได้อย่างเด่นชัด ยุทธวิธีนี้มักใช้บ่อยในปัญหาทางเรขาคณิตและพีชคณิต 11. การให้เหตุผลทางอ้อม เป็นการแสดงหรืออธิบายข้อความหรือข้อมูลที่ปรากฏอยู่ในปัญหานั้นว่าเป็นจริง โดยการสมมติว่าข้อความที่ต้องการแสดงนั้นเป็นเท็จ แล้วหาข้อขัดแย้ง ยุทธวิธีนี้มักใช้กับการแก้ปัญหาที่ยากแก่การแก้ปัญหาโดยตรง และง่ายที่จะหาข้อขัดแย้งเมื่อกำหนดให้ข้อความที่จะแสดงเป็นเท็จ 9. การฝึกฝนประสบการณ์ในการทำโจทย์ที่หลากหลาย นักเรียนควรฝึกทักษะและแบ่งเวลาในการทบทวนทำโจทย์คณิตศาสตร์บ่อย ๆ ฝึกฝนเล่นเกมคณิตศาสตร์หรือเรียนรู้โปรแกรมที่ส่งเสริมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตอบกลับ
waranyuatisakkulเว็บไซต์เพื่อการศึกษา 
เก้าอันดับเว็บไซต์: คณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษา ที่ดีที่สุดในอังกฤษ
อันดับที่ 9 http://www.scottkim.com (เว็บไซต์เกี่ยวกับเกมส์พัฒนาทักษะทางคณิตศาสตร์)
อันดับที่ 8 http://www.mathsrevision.net (เว็บไซต์เกี่ยวกับเนื้อหาทางคณิตศาสตร์)
อันดับที่ 7 http://www.teachernet.gov.uk/teachingandlearning/subjects/maths (เว็บไซต์เกี่ยวกับข่าวคราวล่าสุดทางการศึกษา)
อันดับที่ 6 http://nlvm.usu.edu/en/nav/vlibrary.html (เว็บไซต์เกี่ยวกับเกมส์พัฒนาทักษะทางคณิตศาสตร์ สามารถพลิกแพลงนำมาใช้เป็นสื่อการสอนได้)
อันดับที่ 5 http://www.puzzles.com/PuzzlesInEducation/pow.htm (เว็บไซต์สำหรับการเริ่มต้นบทเรียน กระตุ้นจากคำถามที่มีให้ดาวน์โหลดฟรี)
อันดับที่ 4 http://www.bbc.co.uk/schools/gcsebitesize/maths (เว็บไซต์ที่นักเรียนสามารถเรียนรู้ด้วยตนเอง มีเกมส์และแบบทดสอบ)
อันดับที่ 3 http://lgfl.skoool.co.uk (เว็บไซต์ที่ใช้ศึกษาเรื่องรูปทรง พื้นที่ หรือพีชคณิต)
อันดับที่ 2 http://www.cimt.plymouth.ac.uk (เว็บไซต์ที่เหมาะสำหรับครูผู้สอนคณิตศาสตร์ มีสื่อการสอนมากมาย ครอบคลุมทุกเนื้อหา)
อันดับที่ 1 http://www.mymaths.co.uk (เว็บไซต์ที่สมบูรณ์แบบที่สุดสำหรับครูและนักเรียน แต่จะต้องเสียค่าใช้จ่าย)
ที่มา: http://www.thaiteachers.tv/vdo2.php?id=3024
คุณค่าของการเรียนคณิตศาสตร์
1. เรียนเพื่อนำไปใช้ในการดำรงชีวิต และใช้เป็นเครื่องมือในการศึกษาวิทยาการต่าง ๆ ในทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มนุษยศาสตร์และศิลปศาสตร์ตลอดจนศาสตร์อื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง ทั้งนี้เพราะเราจำเป็นต้องใช้คณิตศาสตร์ไม่ทางตรงก็ทางอ้อม กับกิจกรรมส่วนใหญ่ในชีวิตประจำวัน มีการนำคณิตศาสตร์ไปใช้อธิบายปรากฏการณ์หรือเหตุการณ์ต่าง ๆ และคาดการณ์ถึงผลที่อาจเกิดขึ้น ทำให้เราสามารถเตรียมตัวรับสถานการณ์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ
2. เรียนเพื่อการเป็นพลเมืองที่ดีและมีคุณภาพ ทั้งนี้เพราะคณิตศาสตร์เป็นวิทยาการแขนงหนึ่งที่เป็นทั้งศาสตร์และศิลป์ มีบทบาทสำคัญในการพัฒนาความคิดของมนุษย์ ทำให้มนุษย์มีความคิดสร้างสรรค์ คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาและสถานการณ์ได้อย่างถี่ถ้วน รอบคอบ ทำให้สามารถคาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจแก้ปัญหา และนำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างถูกต้องและเหมาะสม
3. เรียนเพื่อศึกษาถึงอารยธรรม ที่นำมาซึ่งความเจริญรุ่งเรืองของมนุษยชาติทั้งนี้เพราะคณิตศาสตร์เป็นอารยธรรมที่มีวิวัฒนาการอันยาวนานมาตั้งแต่สมัยดึกดำบรรพ์จนถึงปัจจุบันโดยไม่หยุดนิ่ง ทั้งยังแสดงให้เห็นถึงภูมิปัญญาอันลึกซึ้ง และความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ของคนแต่ละยุคสมัยในการสร้างความเจริญรุ่งเรืองและพัฒนาคุณภาพชีวิตของคนเราให้ดีขึ้น
4. เรียนเพื่อศึกษาต่อในระดับที่สูงขึ้น พื้นฐานทางการเรียนคณิตศาสตร์ถือว่ามีความสำคัญอย่างยิ่งในระดับที่สูงขึ้นต่อไป และเราก็ไม่สามารถคาดการณ์หรือกำหนดชีวิตได้ว่าในอนาคตจะได้ศึกษาต่อหรือทำงานอะไร ดังนั้นการเรียนคณิตศาสตร์ในช่วงชั้นของตนเองเพื่อเป็นการเตรียมพื้นความรู้ในการเรียนคณิตศาสตร์ในเนื้อหาที่สูงขึ้นจึงมีความสำคัญอย่างยิ่ง ถ้าเราไม่ใส่ใจหรือไม่ตั้งใจเรียนในเรื่องใดเรื่องหนึ่งก็จะทำให้มีปัญหาหรือขาดโอกาสในการศึกษาต่อในสาขาวิชาเหล่านั้นไปเลย เช่น จะเรียนวิศวกรรมศาสตร์ แต่ไม่เข้าใจเรื่องของความสัมพันธ์และฟังก์ชัน นักเรียนก็ไม่สามารถเรียนต่อสาขานี้ได้ เพราะนักเรียนไม่มีพื้นฐานความรู้ เพราะในมหาวิทยาลัยจะไม่มีการทบทวนเนื้อหาพื้นฐานเหล่านี้ เหมือนในโรงเรียน
สิ่งที่นักเรียนควรคำนึงในการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ 9 ประการ
1. การวิเคราะห์ปัญหา นักเรียนสามารถแยกแยะปัญหาได้ว่าโจทย์ปัญหาแต่ละข้อนั้นกำหนดสิ่งใดให้บ้าง และโจทย์ต้องการทราบอะไร สิ่งที่โจทย์กำหนดให้นั้นมีความสัมพันธ์กันอย่างไร ตัวอย่างเช่น “ตุ๊กซื้อส้มเป็นเงิน 28 บาท ให้ธนบัตรใบละ 100 บาท เขาจะได้รับเงินทอนเท่าไร”
จากโจทย์ปัญหานี้นักเรียนจะทราบว่า
สิ่งที่กำหนดให้ คือ ตุ๊กมีเงิน 100 บาท ซื้อของไป 28 บาท
สิ่งที่โจทย์ถาม คือ ตุ๊กจะได้รับเงินทอนเท่าไร หรือตุ๊กจะเหลือเงินเท่าไร
ความสัมพันธ์ของจำนวน 2 จำนวน คือ 100 กับ 28 จะต้องนำจำนวนเงินที่ซื้อของไป 28 หักออกจากจำนวนเงินทั้งหมด 100 บาท เป็นต้น
2. การเขียนประโยคสัญลักษณ์ เมื่อนักเรียนสามารถวิเคราะห์โจทย์ปัญหา ขั้นต่อไปนักเรียนควรมีความสามารถในการเขียนประโยคสัญลักษณ์
“ประโยคสัญลักษณ์ หมายถึง ประโยคที่ใช้สัญลักษณ์ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขและเครื่องหมายแทนข้อความแทนจำนวน”
พื้นฐานของนักเรียนก่อนที่จะเขียนประโยคสัญลัษณ์ นักเรียนจะต้องรู้และเข้าใจเรื่องการใช้ตัวเลขแทนจำนวน เช่น ตัวเลขที่ใช้แทนจำนวนของสี่อย่าง คือ ๔ หรือ 4 รวมทั้งการใช้เครื่องเท่ากับ มากกว่า ไม่เท่ากับ บวก ลบ คูณ หาร เป็นต้น
จากโจทย์ที่กล่าวมา เมื่อนักเรียนสามารถวิเคราะห์ปัญหาได้ ทราบความสัมพันธ์ของจำนวน 2 จำนวนที่โจทย์กำหนดให้ คือจะต้องนำจำนวนเงิน 28 บาท ไปหักออกจากจำนวน 100 บาท นักเรียนเรียนเรื่องการลบไปแล้วก็จะทราบว่า การหักออกคือการลบ จำนวนใดเป็นตัวตั้งและเป็นตัวลบ โจทย์ปัญหาข้อนี้เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ 100 – 28 = ? เมื่อนักเรียนสามารถเขียนประโยคสัญลักษณ์จากโจทย์ปัญหาที่ง่ายได้แล้ว ขั้นต่อไปจึงค่อยทำโจทย์ปัญหาที่ยากหรือซับซ้อนขึ้น คือ โจทย์ปัญหาที่มีสิ่งที่กำหนดให้มากกว่า 2 จำนวนขึ้นไป นักเรียนจะต้องใช้วิธีทำมากกว่า 1 ขั้นตอน หรือที่เรียกกันว่าทั่วไปว่าโจทย์ระคน เช่น “น้อยซื้อสบู่ 3 ก้อน ราคาก้อนละ 5 บาท ยาสีฟัน 1 หลอดราคา 32 บาท และซื้อแก้วน้ำ 4 ใบ ราคาใบละ 7 บาท น้อยซื้อของทั้งหมดสิ้นเงินเท่าไร”
-นักเรียนจะต้องเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนสิ่งของกับราคาของสิ่งของ
– โจทย์ต้องการทราบว่าน้อยซื้อของ 3 ชนิด สิ้นเงินเท่าไร
– ดังนั้น นักเรียนจะต้องนำราคาสิ่งของที่ซื้อทั้ง 3 ชนิดมารวมกัน
– ประโยคสัญลักษณ์ คือ (3 * 5) + 32 + (4 * 7) = ?
– เมื่อนักเรียนเขียนประโยคสัญลักษณ์ได้นักเรียนต้องทราบว่าจำนวนแต่ละจำนวนหมายถึง
อะไร ดังนี้
ในที่นี้ 3 หมายถึง จำนวนสบู่ 5 หมายถึง ราคาสบู่แต่ละก้อน
32 หมายถึง ราคายาสีฟัน 1 หลอด
4 หมายถึง จำนวนแก้วน้ำ 7 หมายถึง ราคาแก้วแต่ละใบ
ราคาสิ่งของมีหน่วยเป็นบาท ดังนั้นคำตอบจะต้องมีหน่วยเป็นบาท
3. การร่างรูปภาพจากโจทย์ เป็นการหาความสัมพันธ์ของโจทย์ในรูปแบบหนึ่ง โดยเป็นการนำสิ่งที่โจทย์กำหนดให้มาเขียนให้มาเขียนเป็นรูปธรรมหรือทำโจทย์ให้ง่ายขึ้น มีการแสดงรายละเอียดของรูปจากสิ่งที่โจทย์กำหนดมาอย่างคร่าว ๆ เพื่อนำไปสู่แนวทางในการหาคำตอบต่อไป ส่วนใหญ่จะใช้ในเนื้อหาเรขาคณิต เนื้อหาความสัมพันธ์ เป็นต้น
4. ความสามารถในการอ่าน นักเรียนจำเป็นต้องมีทักษะในการอ่านสามารถเข้าใจความหมายคำศัพท์ต่าง ๆ และสามารถตีความว่าโจทย์กำหนดสิ่งใดให้และต้องการทราบอะไร ซึ่งต่างจากการอ่านโดยทั่ว ๆ ไป คำศัพท์บางคำในโจทย์ที่นักเรียนพบมักเป็นคำศัพท์ที่ใช้เฉพาะอยู่ในเรื่องที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ เช่น คำว่าผลต่าง ผลคูณ หักออก เป็นต้น นอกจากนั้นแล้วคำศัพท์บางคำนิยมใช้ตัวย่อ เช่น หน่วยในการชั่ง ตวง วัด ตัวอย่างคำว่า กก. แทนคำว่า กิโลกรัม ซม. แทน เซนติเมตร เป็นต้น นักเรียนจะต้องมีความรู้ความเข้าใจและทักษะทางภาษา
5. ทักษะการแปลงโจทย์ให้เป็นตัวแปรและใส่ค่าให้ถูกต้อง เป็นทักษะสำคัญที่นักเรียนจะต้องฝึกฝนให้ชำนาญ ซึ่งจะมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาโจทย์ทั้งวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ โดยนักเรียนจะต้องอ่านโจทย์ให้เข้าใจ แล้วนำไปเชื่อมโยงกับความรู้ที่ได้เรียนมา เช่น สูตรต่าง ๆ ในวิชาวิทยาศาสตร์หรือในเนื้อหาคณิตศาสตร์ โดยแทนตัวแปรให้สอดคล้องกับสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ พร้อมทั้งแทนตัวเลขให้ถูกต้องด้วย ซึ่งส่วนใหญ่จะอยู่ในรูปแบบของสมการ
6. ทักษะในการคำนวณ ในการแก้โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ นอกจากนักเรียนจะต้องมีความสามารถในการอ่านโจทย์ เข้าใจสิ่งที่โจทย์กำหนดให้และสิ่งที่โจทย์ต้องการทราบแล้ว นักเรียนจำเป็นต้องมีทักษะในการคำนวณอีกด้วย การมีทักษะในการคำนวณ คือ การที่นักเรียนสามารถบวก ลบ คูณ และหารได้ถูกต้องแม่นยำและรวดเร็ว ดังนั้น เมื่อนักเรียนทราบประโยคสัญลักษณ์ของโจทย์ปัญหาแล้ว นักเรียนที่มีทักษะในการคำนวณจะสามารถหาคำตอบของปัญหานั้นได้ถูกต้องและรวดเร็วว่าผู้ที่ไม่มีทักษะ ดังนั้นนักเรียนควรจะฝึกทักษะการคำนวณให้ชำนาญ
7. การประมาณคำตอบและเปรียบเทียบ การประมาณคำตอบและเปรียบเทียบช่วยทำให้นักเรียนทราบว่าวิธีที่นักเรียนใช้แก้ปัญหาและการคำนวณถูกหรือผิดได้ โดยเปรียบเทียบคำตอบได้จากการประมาณกับคำตอบจริงซึ่งควรใกล้เคียงกัน การประมาณคำตอบเป็นทักษะอย่างหนึ่งที่จะต้องฝึกฝนรู้จักวิธีการประมาณคำตอบ การประมาณคำตอบเป็นการคิดในใจด้วยจำนวนคร่าว ๆ ที่ใกล้เคียงกับจำนวนในโจทย์ นักเรียนจะต้องมีความสามารถในการเลือกใช้จำนวนที่ง่ายสำหรับการคิดในใจ และจำนวนนั้นจะต้องใกล้เคียงกับจำนวนในโจทย์ เมื่อนักเรียนมีทักษะการประมาณคำตอบแล้ว นักเรียนจะได้นำไปใช้ประโยชน์ในการตรวจคำตอบ โดยสังเกตคำตอบจากการประมาณ และคำตอบจริงว่าจะต้องใกล้เคียงกัน
8. การใช้วิธีแก้ปัญหาหลายวิธี ในการแก้ปัญหาแต่ละปัญหาคนบางคนอาจใช้วิธีแก้ต่าง ๆ กันไป ถึงแม้ว่าปัญหานั้นเหมือนกัน และวิธีการต่าง ๆ นั้นจะนำไปสู่คำตอบเดียวกัน นักเรียนควรฝึกคิดให้คิดหาวิธีแก้ปัญหาหลาย ๆ วิธี เพราะช่วยให้นักเรียนมีความคิดที่กว้าง ไม่ถูกจำกัดว่าจะต้องใช้วิธีเดียวตามที่ครูสอน นักเรียนที่ได้รับการส่งเสริมให้คิดค้นหาวิธีการแก้ปัญหาหลาย ๆ แบบจะได้รับการฝึกให้คิด มิใช่ฝึกให้ทำตามตัวอย่างหรือเลียนแบบจากตัวอย่าง นักเรียนที่เรียนคณิตศาสตร์แล้วมีความรู้ความเข้าใจ และสามารถนำความรู้ไปใช้ได้ จะมีความสามารถในการคิดแก้ปัญหาได้หลายวิธี แต่นักเรียนที่เรียนโดยการจำ ขาดความเข้าใจ จะมีปัญหาในการเรียนเกี่ยวกับโจทย์ปัญหา เพราะนักเรียนไม่สามารถจำวิธีทำสำหรับโจทย์ปัญหาทุกปัญหาได้ โดยยุทธวิธีในการแก้ปัญหา ได้แก่
1. การค้นหาแบบรูป เป็นการวิเคราะห์ปัญหาและค้นหาความสัมพันธ์ของข้อมูลที่มีลักษณะเป็นระบบหรือเป็นแบบรูปในสถานการณ์ปัญหานั้น ๆ แล้วคาดเดาคำตอบ ซึ่งคำตอบที่ได้จะยอมรับว่าเป็นคำตอบที่ถูกต้องเมื่อผ่านการตรวจสอบยืนยัน ยุทธวิธีนี้มักจะใช้ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวกับจำนวนและเรขาคณิต การฝึกฝนการค้นหาแบบรูปในเรื่องดังกล่าวเป็นประจำ จะช่วยนักเรียนในการพัฒนาความรู้สึกเชิงจำนวนและทักษะการสื่อสาร ซึ่งเป็นทักษะที่ช่วยให้นักเรียนสามารถประมาณและคาดคะเนจำนวนที่พิจารณาโดยยังไม่ต้องคิดคำนวณก่อน ตลอดจนสามารถสะท้อนความรู้ความเข้าใจในแนวคิดทางคณิตศาสตร์และกระบวนการคิดของตนได้
2. การสร้างตาราง เป็นการจัดระบบข้อมูลใส่ในตาราง ตารางที่สร้างขึ้นจะช่วยในการวิเคราะห์หาความสัมพันธ์ อันจะนำไปสู่การค้นพบแบบรูปหรือข้อชี้แนะอื่น ๆ ตลอดจนช่วยให้ไม่หลงลืมหรือสับสนในกรณีใดกรณีหนึ่ง เมื่อต้องแสดงกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดของปัญหา
3. การเขียนภาพหรือแผนภาพ เป็นการอธิบายสถานการณ์และแสดงความสัมพันธ์ของข้อมูลต่าง ๆ ของปัญหาด้วยภาพหรือแผนภาพ ซึ่งการเขียนภาพหรือแผนภาพจะช่วยให้เข้าใจปัญหาได้ง่ายขึ้น และบางครั้งก็สามารถหาคำตอบของปัญหาได้โดยตรงจากภาพหรือแผนภาพนั้น
4. การแจงกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด เป็นการจัดระบบข้อมูล โดยแยกเป็นกรณี ๆ ที่เกิดขึ้นทั้งหมด ในการแจงกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด นักเรียนอาจขจัดกรณีที่ไม่ใช่ออกก่อน แล้วค่อยค้นหาระบบหรือแบบรูปของกรณีที่เหลืออยู่ ซึ่งถ้าไม่มีระบบในการแจงกรณีที่เหมาะสม ยุทธวิธีนี้ก็จะไม่มีประสิทธิภาพ ยุทธวิธีนี้จะใช้ได้ดีถ้าปัญหานั้นมีจำนวนกรณีที่เป็นไปได้แน่นอน ซึ่งบางครั้งเราอาจใช้การค้นหาแบบรูปและการสร้างตารางมาช่วยในการแจงกรณีด้วยก็ได้
5. การคาดเดาและตรวจสอบ เป็นการพิจารณาข้อมูลและเงื่อนไขต่าง ๆ ที่ปัญหากำหนดผสมผสานกับประสบการณ์เดิมที่เกี่ยวข้อง มาสร้างข้อความคาดการณ์ แล้วตรวจสอบความถูกต้องของข้อความคาดการณ์นั้น ถ้าการคาดเดาไม่ถูกต้องก็คาดเดาใหม่โดยอาศัยประโยชน์จากความไม่ถูกต้องของการคาดเดาในครั้งแรก ๆ เป็นกรอบในการคาดเดาคำตอบของปัญหาครั้งต่อไป นักเรียนควรคาดเดาอย่างมีเหตุผลและมีทิศทาง เพื่อให้สิ่งที่คาดเดานั้นเข้าใกล้คำตอบที่ต้องการมากที่สุด
6. การเขียนสมการ เป็นการแสดงความสัมพันธ์ของข้อมูลที่กำหนดของปัญหาในรูปของสมการ ซึ่งบางครั้งอาจเป็นอสมการก็ได้ ในการแก้สมการนักเรียนต้องวิเคราะห์สถานการณ์ปัญหาเพื่อหาว่า ข้อมูลและเงื่อนไขที่กำหนดมามีอะไรบ้าง และสิ่งที่ต้องการหาคืออะไร หลังจากนั้นกำหนดตัวแปรแทนสิ่งที่ต้องการหาหรือแทนสิ่งที่เกี่ยวข้องกับข้อมูลที่กำหนดมาให้แล้วเขียนสมการหรืออสมการแสดงความสัมพันธ์ของข้อมูลเหล่านั้น ในการหาคำตอบของสมการ มักใช้สมบัติของการเท่ากันมาช่วยในการแก้สมการ ซึ่งได้แก่ สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด สมบัติการบวกและสมบัติการคูณ และเมื่อใช้สมบัติของการเท่ากันมาช่วยแล้ว ต้องมีการตรวจสอบคำตอบของสมการตามเงื่อนไขของปัญหา ถ้าเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา ถือว่าคำตอบที่ได้เป็นคำตอบที่ถูกต้องของปัญหานี้ ยุทธวิธีนี้มักใช้บ่อยในปัญหาทางพีชคณิต
7. การคิดแบบย้อนกลับ เป็นการวิเคราะห์ปัญหาที่พิจารณาจากผลย้อนกลับไปสู่เหตุ โดยเริ่มจากข้อมูลที่ได้ในขั้นตอนสุดท้าย แล้วคิดย้อนขั้นตอนกลับมาสู่ข้อมูลที่ได้ในขั้นตอนเริ่มต้น การคิดย้อนกลับใช้ได้ดีกับการแก้ปัญหาที่ต้องการอธิบายถึงขั้นตอนการได้มาซึ่งคำตอบ
8. การเปลี่ยนมุมมอง เป็นการเปลี่ยนการคิดหรือมุมมองให้แตกต่างไปจากที่คุ้นเคย หรือที่ต้องทำตามขั้นตอนทีละขั้นเพื่อให้แก้ปัญหาได้ง่ายขึ้น ยุทธวิธีนี้มักใช้ในกรณีที่แก้ปัญหาด้วยยุทธวิธีอื่นไม่ได้แล้ว สิ่งสำคัญของยุทธวิธีนี้ก็คือ การเปลี่ยนมุมมองที่แตกต่างไปจากเดิม
9. การแบ่งเป็นปัญหาย่อย เป็นการแบ่งปัญหาใหญ่หรือปัญหาที่มีความซับซ้อนหลายขั้นตอนออกเป็นปัญหาย่อยหรือเป็นส่วน ๆ ซึ่งในการแบ่งเป็นปัญหาย่อยนั้นนักเรียนอาจลดจำนวนของข้อมูลลง หรือเปลี่ยนข้อมูลให้อยู่ในรูปที่คุ้นเคยและไม่ซับซ้อน หรือเปลี่ยนให้เป็นปัญหาที่คุ้นเคยหรือเคยแก้ปัญหามาก่อนหน้านี้
10. การให้เหตุผลทางตรรกศาสตร์ เป็นการอธิบายข้อความหรือข้อมูลที่ปรากฏอยู่ในปัญหานั้นว่าเป็นจริง โดยใช้เหตุผลทางตรรกศาสตร์มาช่วยในการแก้ปัญหาบางปัญหาเราใช้การให้เหตุผลทางตรรกศาสตร์ ร่วมกับการคาดเดาและตรวจสอบ หรือการเขียนภาพและแผนภาพ จนทำให้บางครั้งเราไม่สามารถแยกการให้เหตุผลทางตรรกศาสตร์ออกจากยุทธวิธีอื่นได้อย่างเด่นชัด ยุทธวิธีนี้มักใช้บ่อยในปัญหาทางเรขาคณิตและพีชคณิต
11. การให้เหตุผลทางอ้อม เป็นการแสดงหรืออธิบายข้อความหรือข้อมูลที่ปรากฏอยู่ในปัญหานั้นว่าเป็นจริง โดยการสมมติว่าข้อความที่ต้องการแสดงนั้นเป็นเท็จ แล้วหาข้อขัดแย้ง ยุทธวิธีนี้มักใช้กับการแก้ปัญหาที่ยากแก่การแก้ปัญหาโดยตรง และง่ายที่จะหาข้อขัดแย้งเมื่อกำหนดให้ข้อความที่จะแสดงเป็นเท็จ
9. การฝึกฝนประสบการณ์ในการทำโจทย์ที่หลากหลาย นักเรียนควรฝึกทักษะและแบ่งเวลาในการทบทวนทำโจทย์คณิตศาสตร์บ่อย ๆ ฝึกฝนเล่นเกมคณิตศาสตร์หรือเรียนรู้โปรแกรมที่ส่งเสริมการเรียนรู้คณิตศาสตร์